四种思维模式

一、横向思维（加、减、乘、除）💻
- 含义：{{c1::数列中的每一项都是由它的前一项或者前多项通过某种规律推出的，反映了项与项的横向关联性，是一种“项推出项”的思维模式。是一种最基础的思维模式。}}
- 常见应用：和数列、等差数列、倍数数列、乘积数列等
- 例题
  - 例1
    
    4，7，12，20，33，（），88
    A.54
    B.42
    C.49
    D.40
    【解析】
    {{c2::变化幅度不大，横向作差或加和
    4+7+1=12
    7+12+1=20
    12+20+1=33
    20+33+1=54}}
  - 例2
    
    1/9,1,7,35,()
    A.70
    B.105
    C.140
    D.175
    【解析】
    {{c3::相邻项明显倍数关系，考虑作商
    分析相邻两项的倍数：
    第二项1除以第一项1/9，1÷(1/9)=9，即1是1/9的9倍；
    第三项7除以第二项1，7÷1=7，即7是1的7倍；
    第四项35除以第三项7，35÷7=5，即35是7的5倍；
    可总结出倍数规律：相邻两项的倍数依次为9、7、5，每次递减2。推导下一个倍数：按照规律，下一个倍数是5-2=3。计算括号内数字：第四项35乘倍数3，35×3=105，所以括号内应填105，对应选项B。
    }}
二、纵向思维💻
- 适用情况
  - ①数列无明显可拆分特征时，{{c4::优先横向思维，若找不出规律，但数列中每一项可由其他数表示，可通过“拆分+联想”破题，将这些用来表示原数列的数放在了一起，变成一个有规律的数列。}}
  - ②数列可拆分特征明显，{{c5::每一项可由其他数表示，可通过“拆分+联想”破题，这些用来表示原数列的数放在了一起，变成一个有规律的数列。}}
- 拆分方式
  - ①{{c6::机械拆分：如把“123”拆成“1|2|3”或“12|3”}}
  - ②{{c6::幂次：多次方，如“16”拆成“(4^2)”“(2^4)”}}
  - ③{{c6::乘积：(A×B)型，如“12”拆成“3×4”，也叫因式分解}}
  - ④{{c6::和差：(A±B)型，如“5”拆成“2+3”“7-2”}}
- 拆分思路
  - 优先{{c7::选拆分方式少的数进行拆分，降低复杂度，再前后联想找关联}}
    
    {{c7::}}
- 特征数群（1/n,1,m）💻
  - 初见例题
    
    例1
    
    1/9，1，7，35，()
    A.70
    B.105
    C.140
    D.175
    【解析】
    {{c8::相邻项明显倍数关系，考虑作商
    分析相邻两项的倍数：
    第二项1除以第一项1/9，1÷(1/9)=9，即1是1/9的9倍；
    第三项7除以第二项1，7÷1=7，即7是1的7倍；
    第四项35除以第三项7，35÷7=5，即35是7的5倍；
    可总结出倍数规律：相邻两项的倍数依次为9、7、5，每次递减2。推导下一个倍数：按照规律，下一个倍数是5-2=3。计算括号内数字：第四项35乘倍数3，35×3=105，所以括号内应填105，对应选项B。
    }}
    
    例2
    
    1/9，1，7，36，（）
    A.49
    B.121
    C.125
    D.216
    【解析】
    {{c9::观察数列，前面三项数字之间存在倍数关系，但是36和7不存在倍数关系，无法考虑倍数考法（横向）
    可以考虑纵向思维（机械，幂次，乘积，和差）
    这里幂次特征明显
    1/9可看成9的-1次方（因为1除以9的1次方等于9的-1次方）；
    1是8的0次方（任何非零数的0次方都是1）；
    7是7的1次方；
    36是6的2次方。
    找规律：
    底数：9、8、7、6，依次减1；
    指数：-1、0、1、2，依次加1。
    算括号里的数：
    下一个数底数是5（6减1），指数是3（2加1），就是5³=125。
    答案选C（125）。
    }}
  - 规律总结
    
    识别：{{c10::数列前三项为(1/n,1,m)}}
    
    比如：{{c10::1/9,1,7}}
    
    倍数考法
    
    {{c11::}}
    
    幂次考法
    
    {{c12::}}
- 特征数群（8,24,48）💻
  - 初见例题
    
    例1💻
    
    2，8，24，48，()
    A.96
    B.48
    C.24
    D.12
    【解析】
    {{c13::相邻项倍数关系明显
    计算相邻两项的商：
    8÷2=4
    24÷8=3
    48÷24=2
    商依次为4、3、2，呈现“逐次减1”的规律。推导下一项的商：下一个商应为2-1=1。计算括号内的数：48×1=48}}
    
    例2💻
    
    3，8，24，48，()
    A.60
    B.80
    C.100
    D.120
    【解析】
    {{c14::先横向看，无规律，考虑纵向
    观察数列，发现每个数都在幂次数附近，考虑幂次修正数列
    第1项：2^2-1=3；
    第2项：3^2-1=8；
    第3项：5^2-1=24；
    第4项：7^2-1=48；
    观察幂次数的底数发现分别是2,3,5,7，为质数数列
    按照这个规律，下一个质数是11，那么下一项就是11^2-1=120，对应选项D。
    }}
    
    例3💻
    
    0，8，24，48，()
    A.60
    B.80
    C.100
    D.120
    【解析】
    {{c15::先横向看，无规律，考虑纵向
    观察数列，发现每个数都在幂次数附近，考虑幂次修正数列
    0对应1²-1
    8对应3²-1
    24对应5²-1
    48对应7²-1
    “1,3,5,7,9→奇数”，发现平方的底数按奇数依次增加。
    下一项的奇数是9，对应平方是81，再减去1，得到80}}
  - 规律总结
    
    识别：{{c16::数列中存在连续的三项为（8,24,48）}}
    
    考法
    
    {{c16::}}
- 特征数群（因式分解）💻
  - 识别：
    
    因式分解特征1：{{c17::数列中存在一些0或5结尾的数字，可以进行因式分解（拆分成A*B形式）}}
    
    比如： 10，20，30，34，（） 2，6，15，28，55，（） 0，2，10，30，68，（） 4，9，20，35，66，（）
    
    因式分解特征2：{{c18::整个数列基本都是合数，或数列较短没有更多信息可以运用时，可以进行因式分解（拆分成A*B形式）}}
    
    比如： 2，12，54，216，（） 44，52，68，76，92，（）
  - 考法：{{c19::每个数字拆分成A✖️B形式，数列中的A成一种规律，B成一种规律，这种规律一般是基础数列之一}}
  - 例题
    
    例1（2019年辽宁事业）💻🔎
    
    10，20，30，34，（） A38 B42 C26 D32 【解析】
    {{c20::}}
    
    例2（2017年江苏省公务员）💻🔎
    
    2，6，15，28，55，（）
    A.65
    B.74
    C.78
    D.85
    【解析】
    {{c21::横向：单调递增且趋势平缓，优先作差无规律，其他横向也不行纵向：纵向思维（机械，幂次，乘积，和差）这里幂次特征不明显，数位不多，且（0/5结尾的数好乘积拆分），优先考虑乘积拆分，且从拆分方式少的数入手，再去推测周围数的拆分方式 55只能拆成5×11 从55=5×11往前对齐看能否形成规律： 55→5×11 28→4×7（左因数比5少1） 15→3×5（左因数比4少1） 6→2×3（左因数比3少1） 2→1×2（左因数比2少1）得到两列因数：左列：1，2，3，4，5（自然数依次加1）右列：2，3，5，7，11（质数依次递进）因此下一项应为：左列下一个是6 右列下一个是13 6×13=78}}
    
    例3（2019浙江事业）💻🔎
    
    0，2，10，30，68，()
    A.100
    B.110
    C.120
    D.130
    【解析】
    {{c22::思路1：0/5结尾的数好乘积拆分从2入手： 2=1×2（因数唯一，最好作为起点）尝试将每个数写成“左列×右列”的形式： 2=1×2 10=2×5 30=3×10 68=4×17 观察规律：左列：1，2，3，4→自然数递增1，下一项是5 右列：2，5，10，17→差值依次是+3，+5，+7→连续奇数递增，所以下一差是+9，得到17+9=26 计算下一项：左列5×右列26=130 思路2：靠近幂次数，考虑幂次修正 0=0³+0 2=1³+1 10=2³+2 30=3³+3 68=4³+4 下一项：5³+5=125+5=130 思路3：单调递增趋势平缓，横向多级作差先求相邻项的差： 2−0=2 10−2=8 30−10=20 68−30=38 差序列：2，8，20，38 求差序列的二级差（相邻差的差）： 8−2=6 20−8=12 38−20=18 二级差：6，12，18→规律：等差数列，公差为6 预测下一级差：二级差下一项=18+6=24 求下一项的一级差：一级差下一项=38+24=62 求下一项的数值：下一项=68+62=130}}
    
    例4（2025年深圳市考公务员）💻🔎
    
    4，9，20，35，66，（） A78 B91 C115 D136 【解析】
    {{c23::可以先横向，发现无规律再考虑纵向，也可以直接根据特征考虑纵向
    存在0/5结尾，且都是合数，可以考虑纵向拆分（因式分解A*B形式）
    原数列各项可因式分解为：2×2，3×3，5×4，7×5，11×6，（）。
    乘号左侧为：2，3，5，7，11，（），是质数数列，则下一项为13；
    乘号右侧为：2，3，4，5，6，（），是连续的自然数，则下一项为7。
    故所求项=13×7=91。
    }}
    
    例5（2024年江苏省公务员）💻🔎
    
    10，15，25，35，55，（）。 A65 B70 C80 D85 【解析】
    {{c24::全是0或5结尾的数字，可以考虑纵向拆分（因式分解A*B形式）
    原数列可转化为：2×5，3×5，5×5，7×5，11×5，（）。
    乘号左侧为：2，3，5，7，11，（），是质数列，则下一项为13；
    乘号右侧各项均为5，故所求项=13×5=65。
    故正确答案为A。
    }}
    
    例6（2018天津选调公务员）🔎
    
    00212（） A8 B36 C12 D32 【解析】
    {{c25::横向作差/作和无规律，考虑纵向（机械，幂次，乘积，和差）数列同时符合①有0结尾数字②大多为合数③数列短，没有信息可以运用，乘积拆分（因式分解A*B形式）后可得到更多数字找规律解题从2入手： 2=1×2（因数唯一，最好作为起点）尝试将每个数写成“左列×右列”的形式并且前两个数是0，需要构造成0*某个数的形式 2前面的一个0可以构造为 0=0*1 再往前推则是 0=（-1）*0 可以看见右侧是0,1,2的等差数列，差为1，则下一项的右侧应该是2+1=3 即12=4*3 此时左侧数为（-1）,0,1,4，无规律但是0,1,4都是平方数（需要对幂次数足够敏感），即0²=0,1²=1,2²=4，底数为等差数列，差为1 则数列中第一个0应该拆分为（-1）²=1 此时左侧数为（-1）²，0²，1²，2²，下一项为3²=9 右侧数为0,1,2,3,下一项为4 下一项=左侧*右侧=9*4=36}}
    
    例7（2014年河北省公务员）🔎
    
    44，52，68，76，92，（） A104 B116 C124 D128 【解析】
    {{c26::横向：单调递增，趋势平缓，考虑横向作差后一项减去前一项得：8,16,8,16,呈周期变化，因此推测下一项为8 则92+8=100，但是并无此选项。纵向思维（机械，幂次，乘积，和差）这题机械拆分显然无规律，且均是合数，考虑乘积拆分（因式分解A*B形式）从好入手数字着手 44=4*11 52=2*26或4*13 68=2*34或4*17（到这里已经可以考虑乘号前的数字应该都为4） 76=4*19 92=4*23 即列式左边项均为4，右边项为连续质数列，下一项为29 故题干所求项应为4*31=124}}
    
    例8（2020年深圳市考公务员）🔎
    
    2，12，54，216，（） A802 B810 C816 D820 【解析】
    {{c27::横向无规律且数列较短都是合数
    可以考虑纵向拆分（因式分解A*B形式）
    从2入手： 2=1×2（因数唯一，最好作为起点）对剩下的数同样操作，构造A和B各自成规律 12=3*4 54=9*6 此时发现左边数字1,3,9为等比数列，公比为3，推测下一个数因式分解后左边数字为9*3=27 216=27*8 且满足右边数字2,4,6,8是等差数列，即左列：1,3,9,27→每一项都是前一项×3（等比数列）右列：2,4,6,8→每一项+2（等差数列）预测下一项左列下一项：27×3=81 右列下一项：8+2=10 下一项=81×10=810}}
    
    例9（2025福建事业编）🔎
    
    6，22，54，108，（），306，462 A190 B198 C254 D272 【解析】
    {{c28::单调递增且趋势平缓（2倍左右），可考虑作差/作和，先横向多级作差，找不到规律，作和也无规律
    考虑纵向思维（机械，幂次，乘积，和差），数列都是合数，方便进行乘积拆分（因式分解A*B形式）
    从左到右按常见因式分解尝试取左列为自然数：
    6=1×6
    22=2×11
    54=3×18
    108=4×27
    306=6×51
    462=7×66
    得到两列：
    左列：1，2，3，4，5，6，7（注：我们假设左列依次为自然数）
    右列：6，11，18，27，(?)，51，66
    检查右列的差：
    11−6=5
    18−11=7
    27−18=9
    差呈现5，7，9，…，为连续的奇数，下一差应为11。
    因此右列下一项=27+11=38。
    对应左列为5，则下一项=5×38=190。
    答案：A.190}}
- 特征数群（0,2开头的固定搭配）💻
  - 核心特征：{{c29::当数列以0,2开头时，且后面数字均在幂次数附近，存在一种固定搭配模式}}
  - 转换公式：可将数列开头的两个数字0，2转化为{{c29:: $0^{n} + 0^{m}$ }}和{{c29:: $1^{n} + 1^{m}$ }}的组合形式，后续的数字{{c29::再根据需要转化成同样的幂次组合形式}}
  - 例（2019浙江事业）💻🔎
    
    0，2，10，30，68，()
    A.100
    B.110
    C.120
    D.130
    【解析】
    {{c29:: 0=0³+0 2=1³+1 10=2³+2 30=3³+3 68=4³+4 下一项：5³+5=125+5=130}}
- 特征数群（1,2,2,4）
  - 出现完整的“1,2,2,4,2”💻
    
    底层逻辑
    
    连续质数列（2,3,5,7,11,13,17...）的相邻项差值为“{{c30::1,2,2,4,2,4}}”
    
    实战运用
    
    数列中相邻数字作差或其他操作后，得到"1,2,2,4,2..."（必须是{{c31::5个数}}），根据底层逻辑，{{c31::下一项作差后必然是“4”，利用这个“4”得到题目中待选项的结果}}
    
    （2010年江西省公务员） 4，5，7，9，13，15，()
    A.17
    B.18
    C.19
    D.20
    【解析】
    {{c31::实战做法后项与前项作差后得到1,2,2,4,2 则下一项-15=4，下一项=19，C正确原理（纵向和差拆分A±B）： 3＝2+1；
    5＝3+2；
    8＝5+3；
    11＝7+4；
    16＝11+5；
    19＝13+6。其中前项为连续质数列（2,3,5,7,11,13,17...），后项为连续自然数列，不难发现其底层逻辑还是连续质数列（2,3,5,7,11,13,17...）的相邻项差值为“1,2,2,4,2,4” 则所求应＝17+7＝24。故正确答案为C。
    }}
    
    变形运用
    
    例（2020年河南事业）🔎
    
    5，7，11，15，23，27，()
    A.29
    B.31
    C.35
    D.39
    【解析】
    {{c32::实战做法作差后得到2,4,4,8,4，发现是“1,2,2,4,2”的两倍，所以其底层逻辑也是由连续质数列（2,3,5,7,11,13,17...）变化而来直接推测下一个差是“1,2,2,4,2,4”中最后一个数4的两倍，=8 即“2,4,4,8,4,8”=2✖️“1,2,2,4,2,4” 则27+8=35，选C 原理（纵向和差拆分A±B） 2×2+1=5,2×3+1=7,2×5+1=11,2×7+1=15,2×11+1=23,27=2×13+1 即规律为：每一项=2×质数+1，故所求项=2×17+1=35 不难发现其底层逻辑还是连续质数列（2,3,5,7,11,13,17...）的相邻项差值为“1,2,2,4,2,4”}}
    
    例（2015年联考公务员）🔎
    
    3，5，8，11，16，19，()
    A.20
    B.22
    C.24
    D.26
    【解析】
    {{c33::实战做法作差后得到2,3,3,5,3，发现其每一项都是“1,2,2,4,2”中的每一项+1，所以其底层逻辑也是由连续质数列（2,3,5,7,11,13,17...）变化而来直接推测下一个差是“1,2,2,4,2,4”中最后一个数4变化得到，即4+1=5 则19+5=24，选C 原理（纵向和差拆分A±B） 3＝2+1；
    5＝3+2；
    8＝5+3；
    11＝7+4；
    16＝11+5；
    19＝13+6。其中前项为连续质数列，后项为连续自然数列，则所求应＝17+7＝24。不难发现其底层逻辑还是连续质数列（2,3,5,7,11,13,17...）的相邻项差值为“1,2,2,4,2,4”}}
  - 只出现“1,2,2,4”
    
    与完整的“1,2,2,4,2”区分：{{c34::如果数列经过操作只得到“1,2,2,4”（4个数），不能断定规律可以套用“1,2,2,4,2,4”，很可能是其他考法}}
    
    例（2017年422公务员）🔎
    
    1，2，2，4，8，32，（） A64 B128 C256 D512 【解析】
    {{c35::规律：（横向—递推积数列考法—从第三项起每项等于前两项之积）前两项相乘的积等于后一项，1×2=2，2×2=4，2×4=8，4×8=32}}
    
    例（2023福建事业）🔎
    
    2，5，9，15，23，35，（），107 A55 B53 C51 D49 【解析】
    {{c36::观察（含倍数关系检查）：整体趋向递增且幅度不大。
    检查候选项与前项107的倍数关系： 4个都≤2倍，优先考虑作差。作差（后-前）：4,6,8,12，无规律但仍旧递增，继续作差得到1,2,2,4（特征数群），为递推积数列（从第三项起每项等于前两项之积）则下一项二级差=2*4=8 则下一项一级差=12+8=20 则原数列下一项=20+35=55 按此规律验证后面项也符合，选A}}
    
    例（2019福建事业）🔎
    
    1、2、2、4、8、12、（）、108 A24 B48 C64 D96 【解析】
    {{c37::规律：（横向—积数列与和数列混合考法）
    步骤1：分析前几项的运算关系看第1、2、3项：1×2=2，即前两项相乘得到第三项。看第2、3、4项：2+2=4，即前两项相加得到第四项。看第3、4、5项：2×4=8，又回到前两项相乘得到第五项。看第4、5、6项：4+8=12，回到前两项相加得到第六项。步骤2：总结奇偶项规律通过前六项，能发现规律：奇数项（第3、5、7…项）：由前两项相乘得到。偶数项（第4、6、8…项）：由前两项相加得到。步骤3：计算括号内的数（第7项，奇数项）括号是第7项，属于奇数项，按规律需用前两项（第5项、第6项）相乘：第5项是8，第6项是12，所以第7项为8×12=96。步骤4：验证规律（看第8项是否符合）第8项是偶数项，按规律需用前两项（第6项、第7项）相加：第6项是12，第7项是96，12+96=108，与题目中第8项108一致，规律成立。综上，括号内应填96，选D。
    }}
- 例题
  - 例（2024福建事业）🔎
    
    6，9，13，16，21，25，（），34 A28 B29 C30 D31 【解析】
    {{c38::争议题横向①数列较长（8项），可以考虑间隔或两两分组，均无规律，还有一种少见的规律，就是对称分组，即第一项和最后一项一组，第二项和倒数第二项一组，以此类推第四项+倒数第四项=16+21=37 第三项+倒数第三项=13+25=38 第二项+倒数第二项=9+（）第一项+最后一项=6+34=40 发现和呈现递增关系，不难猜出9+（）=39，则（）=30，此时选C 纵向②横向无规律，可以考虑纵向思维（机械，幂次，乘积，和差）观察数列不符合前三个纵向思维的特征，可以尝试第四种和差拆分A±B形式（拆分时尽量构造A和B各自行成基础数列，一般是拆成质数+合数形式） 6=2+4 9=3+6 13=5+8 16=7+9 21=11+10 25=13+12 发现左边一列是连续质数列，右边一列是连续合数列则所求项为17+14=31，此时选D}}
  - 例1（2022年广东省公务员）💻🔎
    
    12，25，310，417，()
    A.524
    B.526
    C.632
    D.647
    【解析】
    {{c39::数位较多，跳跃，大概率多位数处理，需要拆分or整除余数or数加和or描述性关系
    优先纵向拆分试试（机械拆分后可看组内规律或组间规律）一，组间规律解法 1.分析首位数字规律观察这组数字：12，25，310，417，首位数字依次是1，2，3，4，呈现出依次递增1的规律。
    按照此规律，下一个数的首位数字应该是4+1=5。 2.分析其余数字规律再看每个数的其余数字部分，2，5，10，17。
    计算相邻两个数的差值，5-2=3，10-5=5，17-10=7，差值依次为3，5，7，是连续的奇数。
    由此可推测该数列的规律是相邻两项的差值依次增加2。
    那么下一个差值应该是7+2=9，所以下一个数其余数字部分应该是17+9=26。 3.得出答案综合首位数字和其余数字的规律，括号里的数应该是526。二，组内规律解法 1.分析每组数两部分的关系对于第一组1|2，2=1^2+1；对于第二组2|5，5=2^2+1；对于第三组3|10，10=3^2+1；对于第四组4|17，17=4^2+1。可以得出规律：每组数中右边的数等于左边数的平方加1。
    2. 验证第五组对于第五组5|26，26=5^2+1，符合上述规律。
    }}
  - 例2（2022年深圳市考公务员）💻🔎
    
    1427，2739，4559，3248，5678，（　）
    A.9376
    B.7469
    C.2045
    D.3718
    【解析】
    {{c40::1.观察数列特征
    题目所给数列为1427，2739，4559，3248，5678，数位较多，考虑多位数考法（拆分or整除余数or数加和or描述性关系）
    2.寻找数字规律
    优先考虑纵向拆分，四位数优先两两拆分（然后看组内或组间规律）
    进一步观察发现，每个数中前两位数字组成的数等于后两位数字之积（组内规律考法）。
    ◦ 对于14|27，前两位是14，后两位是27，14=2×7。
    ◦ 对于27|39，前两位是27，后两位是39，27=3×9。
    ◦ 对于45|59，前两位是45，后两位是59，45=5×9。
    ◦ 对于32|48，前两位是32，后两位是48，32=4×8。
    ◦ 对于56|78，前两位是56，后两位是78，56=7×8。
    3.根据规律判断选项
    对选项进行逐一分析：
    ◦ A选项9376，93≠7×6，不符合规律。
    ◦ B选项7469，74≠6×9，不符合规律。
    ◦ C选项2045，20=4×5，符合规律。
    ◦ D选项3718，37≠1×8，不符合规律。
    总结
    括号内应填2045，所以答案是C选项。
    }}
  - 例3（2021年广东省公务员）💻🔎
    
    23，14，37，55，78，（）
    A、53
    B、69
    C、81
    D、93
    【解析】
    {{c41::分析
    观察数列特征（无单调性，符合横向思维，加和考法，但是没规律，横向作差也没规律），可考虑纵向思维（机械，幂次，乘积，和差），这题都是两位数，可先拆分（组内或组间规律）1.寻找数列规律 ◦ 观察数列前几个数字，对相邻数字进行分析。
    发现23中2+3=5，14中1+4=5；
    37中3+7=10，55中5+5=10。 ◦ 由此可以总结出规律：该数列以两个数字为一组，同一组数字中十位数字与个位数字相加的和相等。 2.依据规律分析选项 ◦ 已知78中7+8=15，所以括号内的数字应满足十位数字与个位数字相加和为15。 ◦ B选项：69中6+9=15，符合规律，该选项正确。
    其他选项不符合。
    正确答案是B选项。
    }}
  - 例4（2021年广东省公务员）💻🔎
    
    37，18，36，38，98，（）
    A.60
    B.74
    C.85
    D.84
    【解析】
    {{c42::观察数列特征（无单调性，符合横向思维，加和考法，但是没规律，横向作差也没规律），可考虑纵向思维（机械，幂次，乘积，和差），这题都是两位数，可先拆分（组内或组间规律）1.拆分每个数为十位和个位：37→3和7，18→1和8，36→3和6，38→3和8，98→9和8。 2.分析十位规律：拆分后看十位数的组间关系：3,1,3,3,9，可以看见相邻项具有明显倍数关系 3×1=3（36的十位），1×3=3（38的十位），3×3=9（98的十位），推测下一个数的十位应该是3×9=27得到，观察选项发现只有B项有7，猜测是→取27的个位7作十位。
    则规律为前两个数的十位相乘，取个位作下一个数的十位。
    3.分析个位规律：仿照十位的规律试验发现前两个数的个位相乘，取个位作下一个数的个位。 7×8=56→取个位6（36的个位），8×6=48→取个位8（38的个位），6×8=48→取个位8（98的个位），故下个数个位：8×8=64→取个位4。 4.组合十位和个位：7（十位）+4（个位）=74，对应选项B。答案：B}}
  - 例5💻
    
    10，24，50，()，170
    A.102
    B.120
    C.142
    D.160
    【解析】
    {{c43::先横向看，无规律，考虑纵向
    观察数列，发现每个数都在幂次数附近，考虑幂次修正数列
    10≈3²=9，10=3²+1
    24≈5²=25，24=5²−1
    50≈7²=49，50=7²+1
    170≈13²=169，170=13²+1
    现在把“底数”列出来：3，5，7，?，13——发现是连续的质数：3,5,7,11,13。
    显然缺项对应的底数应为11。
    再看修正符号的规律：+1，−1，+1，−1，+1——交替出现。
    因此对应底数11应该是11²−1=121−1=120
    B正确}}
三、斜向思维💻
- 含义
  - {{c44::原数列经过（作差、作和、作商等操作后）得到一级数列，一级数列与原数列存在一定的关联，一般为（差、商、和、幂、积、倍）的关系}}
  - 例💻
    
    103，107，115，122，127，137，（）
    A.147
    B.148
    C.150
    D.152
    【解析】
    {{c44::横向思维：数列单调递增且趋势平缓，先看相邻两项的差： 107-103=4 115-107=8 122-115=7 127-122=5 137-127=10 得到的一级作差数列是：4，8，7，5，10。找不到规律纵向思维：由于数字是多位数，考虑多位数考法（拆分or整除余数or数加和or描述性关系）发现第一个数中的三个数字加和=4，与横向作差后得到的第一个数一致，可以考虑斜向思维发现一级作差数列4，8，7，5，10中每一项都与原数列中每一项中的数字加和结果对应 4=1+0+3 8=1+0+7 7=1+1+5 5=1+2+2 10=1+2+7 所以下一个差值应该=1+3+7=11 则下一项=137+11=148 B正确}}
- “☑️”特征数列考法
  - 例（2020年浙江公务员）💻🔎
    
    36，12，30，36，51，()，94.5
    A.61
    B.69
    C.77
    D.85
    【解析】
    {{c45::“☑️”特征数列，即原数列变化趋势为先减后增（第一个数到第二个数是减小，往后逐渐增大），像是我们自己用“打勾”来表示整个原数列的大小变化趋势
    这种情况，存在一种考法（不是唯一考法，只是提供一种考法思路），即首项先不管，分析第二项以及往后的数列趋势「根据数列特征（幅度，数字特征等等）来判断考法」
    这题从第二项往后数字是递增且变化幅度不大（较大两项在2倍以内，可优先考虑做差）
    30-12=18；
    36-30=6；
    51-36=15
    发现作差后的数列正好对应从第一项开始的原数列的一半，如图}}
  - 例（2009山东公务员）💻🔎
    
    13，9，31，71，173，（） A235 B315 C367 D417 【解析】
    {{c46::“☑️”特征数列，即原数列变化趋势为先减后增（第一个数到第二个数是减小，往后逐渐增大），像是我们自己用“打勾”来表示整个原数列的大小变化趋势
    这种情况，存在一种考法（不是唯一考法，只是提供一种考法思路），即首项先不管，分析第二项以及往后的数列趋势「根据数列特征（幅度，数字特征等等）来判断考法」
    这题从第二项往后数字是递增且（较大两项71与173在2倍多，可优先考虑倍数考法）
    173=71*2+31，发现修正项31正好是71的前一项数字，倍数为2
    往前观察：71=2*31+9，发现修正项9正好是31的前一项数字，倍数为2
    即斜向思维如图，则（）内数字为2*173+71=417（D正确）
    }}
- 例题
  - 例（2026广东省考）🔎
    
    82, 68, 142, 208, 342, 548, （）
    A. 882
    B. 888
    C. 902
    D. 908
    【解析】
    {{c47::思路① “☑️”特征数列，即原数列变化趋势为先减后增（第一个数到第二个数是减小，往后逐渐增大），像是我们自己用“打勾”来表示整个原数列的大小变化趋势这种情况，存在一种考法（不是唯一考法，只是提供一种考法思路），即首项先不管，分析第二项以及往后的数列趋势「根据数列特征（幅度，数字特征等等）来判断考法」这题从第二项往后数字是递增且（趋势平缓，较大两项变化幅度在2倍以内）可优先作差后斜向思维考虑得到差值数列：74, 66, 134, 206 74+8=82（斜向对应原数列第一项） 66+2=68（斜向对应原数列第二项） 134 + 8 = 142（斜向对应原数列第三项） 206 + 2 = 208（斜向对应原数列第四项）则（）-548+8=原数列第五项=342 （）=882，A正确思路② 数列不单调且变化趋势平缓，可考虑作和项 1 + 项 2 = 82 + 68 = 150 → 150 - 8 = 142（项 3）项 2 + 项 3 = 68 + 142 = 210 → 210 - 2 = 208（项 4）项 3 + 项 4 = 142 + 208 = 350 → 350 - 8 = 342（项 5）项 4 + 项 5 = 208 + 342 = 550 → 550 - 2 = 548（项 6）规律：前两项之和交替减 8、减 2 得到后一项（减项周期为 8→2→8→2…）计算未知项项 5 + 项 6 = 342 + 548 = 890 按周期规律，本次需减 8（前一次减 2，交替为 8）： 890 - 8 = 882，A正确 }}
  - 例（2023深圳公务员）💻🔎
    
    24、14、26、33、46、（）
    A.56
    B.62.5
    C.66
    D.71.5
    【解析】
    {{c48::“☑️”特征数列，即原数列变化趋势为先减后增（第一个数到第二个数是减小，往后逐渐增大），像是我们自己用“打勾”来表示整个原数列的大小变化趋势
    这种情况，存在一种考法（不是唯一考法，只是提供一种考法思路），即首项先不管，分析第二项以及往后的数列趋势（数列变化幅度不大，可先考虑作差）
    26-14=12；
    33-26=7；
    46-33=13
    发现作差后的数列正好对应从第一项开始的原数列的一半（斜向思维）
    则（）-46=33/2=16.5
    （）=62.5，B当选}}
  - 例（2019年新疆事业单位）💻🔎
    
    1，1，4，13，43，142，()
    A.469
    B.369
    C.234
    D.198
    【解析】
    {{c49::横向思维：相邻项之间变化幅度较大（看较大2个数在2~6倍附近）时可考虑倍数考法，这题较大的选项之间大概在3倍多，可以用三倍来修正，先观察每一项乘3后与原数列关系发现1*3后还需要加1=4，4*3后还需要加1=13，13*3后还需要+4=43 发现修正项与原数列一一对应，即斜向思维，如下图所示}}
四、跳项思维💻
- 特征/考法
  - 数列不单调，有增有减，当（横向、纵向、斜向）思维受阻时，可考虑跳项，利用隔项的数进行运算的思维，一般是隔1项或2项进行【（加减乘除），常考加减】
    {{c50::运算后，所得到的一级数列，与原数列找关系，一般为（差、商、和、幂、积、倍）的关系}}
  - 例（2021浙江省公务员）💻🔎
    
    36，24，24，12，18，()，16.5
    A.3
    B.9
    C.17
    D.24
    【解析】
    {{c50::思路一、横向（需要多试探，比较难想）：数列不单调，且存在16.5这样的数，多半是存在0.5或1/2 试探相邻项之间如何利用0.5或1/2找到规律，观察发现：36-24÷2=24，推测该数列规律为：第一项-第二项÷2=第三项。做验证： 24-24÷2=12；
    24-12÷2=18符合规律。则所求项：12-18÷2=3。
    向后验证：18-3÷2=16.5 符合规律。
    故正确答案为A。思路二、跳项思维（⭐⭐⭐）：数列不单调，有增有减，且特征不太好想（纵向、斜向），考虑隔项/跳项隔一项进行（加减乘除），一般是加减，然后看所得一级数列与原数列关系第1项-第3项=36-24=12→是第2项24的一半✅ 第3项-第5项=24-18=6→是第4项12的一半✅ 推测：第5项-第7项=18-16.5=1.5→是第6项的一半→第6项=3（A正确）}}
- 例题
  - 例1（2025广东事业）🔎
    
    0，32，16，-24，-28，10，（） A12 B20 C33 D48 【解析】
    {{c51::数列不单调，有增有减，且特征不太好想（纵向、斜向），考虑隔项/跳项
    隔一项进行（加减乘除），一般是加减，然后看所得一级数列与原数列关系，如图}}
  - 例2（2023年广东省公务员）💻🔎
    
    10，3，13，1，14，2，16，9，（）
    A.23
    B.24
    C.25
    D.26
    【解析】
    {{c52::数列较长，可考虑组合数列（多重数列）考法，一般为间隔或分组考法思路一：原数列两两分组：（10，3），（13，1），（14，2），（16，9），观察发现，10+3=13，13+1=14，14+2=16，即前一组组内加和为后一组第一个数，故所求项为16+9=25。思路二：间隔找规律，奇数项：10，13，14，16，（），无明显规律，后项-前项可得新数列：3，1，2，（），新数列前三项与原数列偶数项相同，则新数列下一项为9，故所求项为16+9=25。
    }}
  - 例3（2023年浙江省公务员）💻🔎
    
    163，47，22，-19，79，()
    A.-256
    B.-115
    C.181
    D.225
    【解析】
    {{c53::跳项思维（⭐⭐⭐）：数列不单调，有增有减，且特征不太好想（纵向、斜向），考虑隔项/跳项隔一项进行（加减乘除），一般是加减，然后看所得一级数列与原数列关系，如图}}
  - 例4（2022浙江公务员）🔎
    
    -9，6，3，12，27，（） A64 B65 C66 D67 【解析】
    {{c54::数列不单调，有增有减，且特征不太好想（纵向、斜向），考虑隔项/跳项
    隔一项进行（加减乘除），一般是加减，然后看所得一级数列与原数列关系，如图 }}